Термомеханический отклик гидравлической опоры
Введение
При динамических испытаниях гидравлических опор иногда можно столкнуться с возникновением, с одной стороны, нештатных режимов работы, когда корпус установки сильно нагревается, а амплитуда колебаний возрастает, а с другой стороны может наблюдаться, практически при сходных условиях эксперимента, и вполне удовлетворительное функционирование. С физической точки зрения, очевидно, что перегрев гидравлической опоры вызывает понижение вязкости заполняющей ее жидкости, вследствие чего нарастает амплитуда колебаний, а эффективность работы установки снижается. Поэтому в конструкции гидравлических опор предусмотрена такая ситуация, что, к примеру, при падении вязкости жидкости инициируется дополнительное вихревое движение, поперек основного течения, которое препятствует развитию опасных колебаний. Тем не менее, указанный режим функционирования установки требует теоретического объяснения, попыткой чему служит настоящая работа. В качестве математической модели гидравлической опоры выступают уравнения движения пружинного маятника с достаточно большим коэффициентом диссипации энергии. Кроме этого предполагается, что коэффициент диссипации энергии зависит от температуры окружающей среды. В качестве простейшей температурной зависимости коэффициента диссипации энергии выбрана линейная характеристика малой крутизны, которая стандартным образом входит как в уравнение теплового баланса, так и в уравнения, описывающее механические колебания. Уравнения математической модели исследовались методом малого параметра в предположении, что внешнее гармоническое воздействие на гидравлическую опору умеренно настолько, чтобы не вызвать существенно нелинейных колебаний большой амплитуды, а термическая зависимость диссипативной функции предполагалась невеликой. В результате изучения стационарных режимов колебаний были обнаружены динамические процессы, опасные для функционирования гидравлической опоры, которые объяснимы с точки зрения возникновения термомеханической неустойчивости системы в окрестности резонанса.
Физическая картина динамических процессов в гидравлической опоре весьма прозрачна. Падение вязкости жидкости приводит к росту амплитуды колебаний, что способствует дополнительному тепловыделению. Тепловыделение вызывает понижение вязкости, что способствует его же уменьшению. Ясно, что такой процесс обладает насыщением и рано или поздно, скорее всего, завершится стационарным состоянием. Однако, рассматриваемая система, будучи нелинейной, обладает гистерезисным характером режимов стационарных движений, что приводит к возникновению опасных колебаний даже вдали от резонансных частот. На конкретных примерах осуществлен параметрический анализ системы с целью выявления наиболее опасных режимов установки.
Вопросы термомеханической устойчивости привлекают исследовательский интерес, как в традиционных, так и в новых научных дисциплинах. К примеру, без адекватного описания влияния температурных эффектов на механику совершенно нельзя обойтись в задачах контактной и ультразвуковой металлообработки [1], фазовых переходов в микроструктурах, типа аустенита и мартенсита [2], динамики материалов с памятью [3], автоколебаний механико-электрических систем [4]. Задачи термомеханических колебаний гидравлических опор недостаточно изучены, исследователи обычно ограничиваются только лишь механическими моделями [5,6]. Настоящая работа представляет собой попытку заострить интерес разработчиков гидравлических опор к данной тематике, особенно с точки зрения использования магнетореологических материалов [7] и методов активного контроля, обеспечивающих весьма эффективное решение задачи по снижению уровня нежелательных колебаний механических конструкций.
Уравнения движения
Исследуется влияние температурных эффектов на амплитудно-частотную зависимость стационарных колебаний гидравлической опоры. Уравнения движения строятся на основе самых простых общих физических соображений, о которых отмечалось во введении:
Здесь приведенные коэффициенты гидравлической опоры таковы: 
– масса гидравлической
опоры; 
– коэффициент
упругости; 
– коэффициент
термической вязкости; 
– коэффициент
упругости, характеризующий асимметрию деформирования; 
– объем гидравлической
опоры; 
– статическая
нагрузка; 
– максимальное
значение внешнего силового воздействия на частоте 
; 
– малый безразмерный параметр. Уравнения механических
колебаний и термического баланса также характеризуются следующими параметрами: 
– коэффициент
теплоемкости; 
– коэффициент
теплопроводности; 
– смещение; 
– скорость; 
– температура; 
– температура
окружающей среды.
Определяется статическая деформация под действием
статической нагрузки 
и собственная частота
колебаний в отсутствие диссипации энергии: 
.
Вводятся безразмерные переменные:
, 
, 
, 
,
где 
– характерный масштаб
длины.
Уравнения движения в этих безразмерных переменных переписываются в виде:
(1) 
Точка обозначает дифференцирование по безразмерному времени.
Общее решение линейной подсистемы системы (2), когда 
, имеет вид:
(2) 
Здесь 
– комплексная
произвольная константа интегрирования (
– соответствующая комплексно сопряженная величина); 
– действительная
произвольная константа интегрирования; 
– частота, при которой
в линейной подсистеме достигается пик амплитуды вынужденных колебаний.
Эволюционные уравнения
Подстановка
в уравнения (1), предназначенная для поиска асимптотического решения первого
приближения разложением в ряд по малому параметру , строится согласно парадигме интегрирования дифференциальных
уравнений, методом вариации произвольных постоянных, то есть она такова:
(3) 
Здесь прежние константы теперь уже варьируются по времени: 
, 
, 
; а функции 
, 
, 
(
) представляют собою так называемые нерезонансные поправки к
основному решению. Порядок поправок определяется индексом 
, который полностью согласован со стандартным разложением искомой
функции в ряд по малому параметру . Нерезонансные поправки вводятся для осуществления асимптотической
процедуры построения решения задачи рекурсивным способом, используя метод
малого параметра .
При переходе к полярным координатам 
и 
:
(4) 
, 
,
в
системе (1) вблизи резонанса выявляются «быстрые» и «медленные» движения, при
условии, что внешнее возбуждение системы невелико. Быстрая переменная
характеризуется частотой внешней гармонической силы , а в качестве «медленной» переменной выступает новая
координата – фаза 
, где 
– величина порядка , представляющая собой условие фазового синхронизма.
Уравнения первого нелинейного приближения
Среднее
значение заданной функции 
на периоде 
определяется
выражением
(5) 
.
Осреднение осуществляется по «медленным» переменным тогда, когда резонанс уже устранен из системы. Применение оператора среднего значения (5) к уравнениям (1), с учетом подстановок (3) и (4) приводит к следующим эволюционным уравнениям нулевого приближения:
(6) 
Стационарное решение системы эволюционных уравнений (6) получается приравниванием всех производных нулю:
(7) 
Уравнения для определения нерезонансных поправок нулевого порядка таковы:
(8) 
После отыскания частного решения системы (8) нулевое приближение считается полностью построенным. Совершенно очевидно, что стационарное решение нулевого приближение, с точки зрения подстановки (3), полностью совпадает с соответствующим решением исходной линеаризованной системы (1).
Для построения эволюционных уравнений первого нелинейного приближения опять-таки используется та же подстановка (3), но в ней поправки нулевого порядка уже известные функции, представляющие собою частное решение системы линейных неоднородных уравнений (8).
Эволюционные уравнения первого нелинейного приближения таковы:
(9) 
Здесь:
Структура
эволюционных уравнений (9) весьма прозрачна. Ясно, что интенсивность
термомеханического эффекта определяется малым параметром . Если этот параметр ноль, то отсутствует влияние температуры
на механические движения. Если допустить, что параметр термической вязкости ноль, то и ноли
коэффициенты 
, 
, 
и 
, 
, 
в уравнениях,
определяющих амплитуду 
и фазу 
. Опять-таки влияния температуры на механические движения
нет. Если изъять эти предельные случаи из рассмотрения, то существенная нелинейность
термомеханической связи становится очевидной.
Фазово-амплитудные частотные характеристики с учетом температурных эффектов
Уравнения
для определения стационарных режимов колебаний прямо следуют из эволюционных
уравнений (9), если положить все скорости равными нулю. Результатом
приравнивания является система трех трансцендентных уравнений относительно того
числа же неизвестных, т.е. 
, 
и 
:
(10) 
Неизвестные
величины , и , характеризующие, соответственно амплитуду, фазу колебаний и
температуру, можно параметризовать различным образом.
Пусть это будут функции частоты внешнего гармонического сигнала . Тогда доступно построение так называемых амплитудно-фазовых
частотных характеристик с учетом температурных эффектов. Для наглядности можно
ограничиться рассмотрением частных конкретных значений параметров системы (1).
Пусть значения этих параметров таковы: 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
. Стационарные характеристики процесса представлены
на рис. 1, когда параметр 
. Частота на всех графиках нормирована величиной 
так, чтобы максимум
амплитуды приходился на единицу, то есть амплитуда 
и температура 
представляются как
функции безразмерной частоты 
.
а
б
Рис.
1 Амплитуда (а) и температура (б) как функции безразмерной частоты 
.
Очевидно, что множество стационарных состояний состоит из двух различимых подмножеств H и L, которые уместно назвать высокотемпературной и низкотемпературной ветвями, соответственно. Амплитудно-фазовая частотная характеристика, характеризующая низкотемпературное подмножество L, практически неразличима с кривыми (7), характеризующими линеаризованную систему. Подмножество же H появляется всецело вследствие нелинейности. Это подмножество состоит как из устойчивых, так и неустойчивых стационарных точек, разделенных границами, где производная обращается в бесконечность. Очевидно, что устойчивые стационарные режимы подмножества H достижимы не из любых начальных условий. К примеру, для реализации такого устойчивого высокотемпературного стационарного движения жидкость, содержащуюся в гидравлической опоре, совершенно необходимо предварительно разогреть до некоторой заданной температуры, а частота внешнего гармонического сигнала при этом должна укладываться в заданную полосу. Стационарные же режимы подмножества L достигаются практически без каких-либо жестких ограничений.
Пусть
малый параметр нарастает. Сколь значительны
при этом изменения амплитудной и температурной характеристик? Графики,
приведенные на рис. 2, демонстрируют весьма существенную нелинейную зависимость
стационарных решений от сравнительно малых вариаций параметра .
а
б
Рис. 2
Низкотемпературная характеристика. Амплитуда (а) и температура (б). Числами
отмечены различные значения малого параметра .
Очевидно,
что наиболее чувствительной к изменению малого параметра оказывается температура
гидравлической опоры. Амплитуда меняется несколько медленнее, чем температура, но
наблюдается смещение резонансного пика в высокочастотную область. Высокотемпературная характеристика изменяется весьма
стремительно с ростом малого параметра . Начиная с некоторого критического значения этого параметра,
высокотемпературная характеристика H объединяется с низкотемпературной
характеристикой L. Это влечет
термомеханическую неустойчивость системы, которая выражается в резком скачке
амплитуды колебаний и существенном повышении температуры гидравлической опоры, как
в окрестности резонансной частоты, так и несколько выше последней. На рис. 3 приводится
иллюстрация стационарных состояний вблизи критической точки. Путь (a, b, c, d, e, a) на этом рисунке обозначает петлю
гистерезиса колебаний при сканировании частоты.
а
б
Рис. 3
Термомеханическая неустойчивость. Амплитудная характеристика (а) и температура
(б). Числами отмечены различные значения малого параметра .
Очевидно, что функционирование гидравлической опоры в условиях термомеханической неустойчивости на практике совершенно недопустимо. Однако не следует забывать, что на рис. 3 представлены результаты исследования модели первого нелинейного приближения (9). Непосредственный численный расчет исходных уравнений движения (1) в характерных точках пространства параметров системы подтверждает возникновение явления термомеханической неустойчивости. Оказывается, что решения уравнений первого нелинейного приближения (9) практически совпадают с решениями исходных уравнений (1) в окрестности резонансной частоты при небольших амплитудах колебаний. Поскольку с ростом амплитуды внешней периодической нагрузки расхождения между решениями точной и приближенной моделей естественно увеличиваются, то становится очевидной актуальность построения эволюционных уравнений второго нелинейного приближения, которые приведут к более точному аналитическому прогнозу, в частности с точки зрения более детального описания частотно-амплитудных зависимостей. Но этот вопрос, будучи нетривиальным, выходит за рамки настоящего исследования.
Параметрический анализ стационарных решений
Для осуществления параметрического анализа стационарных решений системы эволюционных уравнений первого нелинейного приближения, левые части уравнений (10) обозначаются следующим образом:
(11) 
Неизвестные величины , и , характеризующие, как и прежде, соответственно амплитуду,
фазу колебаний и температуру, теперь формально считаются гладкими функциями малого
параметра . Поскольку функции 
, 
и 
почти во всем
пространстве параметров системы являются дифференцируемыми, то доступен
наглядный параметрический анализ стационарных решений с помощью рядов Ли [8, 9]. Для этого функции , и в уравнениях (10) единожды
дифференцируются по переменной , затем полученные уравнения разрешаются относительно первых
производных. В результате формируется система обыкновенных дифференциальных
уравнений следующего вида:
(12) 
Очевидно,
что выражения (11) представляют собой неявные решения системы (12) при вполне
определенных начальных данных, определяемых тройкой параметров 
, 
и 
. Эти параметры полностью определяются правыми частями
выражения (7), то есть 
, 
и 
. Структура уравнений весьма непроста, но может быть
эффективно изучена с помощью использования доступных алгоритмов синтаксического
анализа [10].
Зависимость стационарных решений от малого параметра
В
качестве примера на рис. 4 представлен результат численного интегрирования
системы (12). Значения расчетных параметров прежние: ; ; ; ; ; ; ; ; ; ; .
а
б
в
Рис. 4
Стационарные решения. Амплитудная характеристика (а), фаза (б) и температура (в)
как функции малого параметра . Числами отмечены расчетные значения частоты внешнего
сигнала в герцах.
Даже вдали от резонансной частоты 
, как видно на рис. 4, формируется пик максимальных смещений
и температур. При приближении частоты внешнего сигнала к резонансной частоте наблюдается типичное
явление резонанса в системе.
Явные решения уравнений (12) представимы рядами Ли:
(13) 
где 
– дифференциальный
оператор.
В качестве примера рассматриваются конечные суммы рядов Ли, построенные для конкретных значений параметров системы, указанных выше.
а
б
в
Рис. 5
Аппроксимация рядами Ли (точечная линия) точного стационарного
решения (сплошная линия). Амплитудная характеристика (а), фаза (б) и
температура (в) как функции малого параметра . Частота внешнего сигнала 
.
На рис. 5 приведены сравнительные результаты численного интегрирования системы дифференциальных уравнений (12) и приближенного аналитического решения задачи рядами Ли с точностью до членов пятого порядка малости:
Очевидно, что представленные конечные суммы представляют собою части условно сходящихся рядов, но в окрестности ноля они дают правильную нетривиальную информацию о поведения точного решения полностью в параметрической форме [10], что, собственно, и является достоинством метода Ли.
Зависимость стационарных решений от параметра нелинейной упругости
При изменении параметра , характеризующего асимметричность упругой характеристики,
как показывает рис. 6, существенного влияния на динамику гидравлической опоры
нет, даже при весьма значительном изменении этого параметра.
а
б
в
Рис. 6
Стационарные решения. Амплитудная характеристика (а), фаза (б) и температура
(в) как функции малого параметра . Числами отмечены расчетные значения параметра нелинейной
упругости (в единице измерения 
).
Этот факт в целом подтверждается экспериментальными испытаниями гидравлических опор.
Зависимость стационарных решений от статической нагрузки
Изменение параметра , характеризующего статическую нагрузку, иллюстрирует рис. 7.
а
б
в
Рис. 7
Стационарные решения. Амплитудная характеристика (а), фаза (б) и температура
(в) как функции малого параметра . Числами отмечены расчетные значения статической нагрузки в ньютонах.
Очевидно существенное влияния этого параметра на динамику гидравлической опоры, что и подтверждается экспериментально.
Выводы
В настоящей работе построена математическая модель явления термомеханической неустойчивости динамических процессов в гидравлической опоре. Неустойчивость обусловлена явлением резонанса. Под действием внешнего гармонического сигнала повышается температура жидкости внутри гидравлической опоры и ее вязкость снижается, а амплитуда механических колебаний естественным образом возрастает. Однако снижение вязкости жидкости ограничивает тепловыделение, что приводит к нелинейным стационарным колебаниям. В окрестности резонансной частоты в системе возникает сильная амплитудно-частотная зависимость, приводящая к гистерезисному характеру колебаний. Параметрический анализ системы выявил, что наиболее чувствительным с точки зрения термомеханической неустойчивости является параметр термической вязкости. Этот параметр обладает критическим значением малой величины. Это означает, что использование жидкости даже с весьма низким коэффициентом термической вязкости неэффективно для гидравлической опоры. Любые посторонние включения, образующиеся в результате эксплуатации установки, вроде частиц металла или полимера, могут легко повысить значение параметра термической вязкости до критического значения неконтролируемым способом.
Предложенная в работе модель является чрезвычайно простой, хоть и не столь тривиальной в точки зрения использованных алгоритмов [10]. Совершенно очевидно, что строгий расчет установки требует более глубокого исследования задачи численными методами [11], в частности, для моделирования более адекватной зависимости между вязкостью и температурой [12], а так же изучения влияния нелинейности [13].
Литература
- Astashev VK,
Babitsky VI,
Kolovsky MZ
(2000) Dynamics and Control of Machines.
Series: Foundations of Engineering Mechanics. Translated by Birkett N. Springer-Verlag, X, 233
- Wang LX, Melnik
Roderick VN (2007) Numerical model for vibration damping resulting from
the first-order phase transformations. Applied
Mathematical Modelling. Vol:
31 2008–2018
- Lacarbonara W, Bernardini
D, Vestroni F (2004) Nonlinear
thermomechanical oscillations of shape-memory
devices. Int. Journal of Solids and Structures. Vol:41 1209–1234
- Tiseo B, Concilio
A, Ameduri S, Gianvito
A (2010) A shape memory alloys based tunable
dynamic vibration absorber for vibration tonal control. Journal of
Theoretical and Applied Mechanics. Vol:48(1) 135–153,
- Landa PS, Duboshinskii
Ya B (1989) Self-oscillatory systems with
high-frequency energy sources. Sov. Phys. Usp. Vol:32 723–731
- Tondl Aleš
(2008) To the problem of self-excited vibration
suppression. Eng.Mech., Vol:
5(4) 297–307
- Kandaurova GS (2002) New
phenomena in the low-frequency dynamics of magnetic domain ensemblesю
Phys. Usp. Vol:45 1051–1072
- Zhuravlev VF, Klimov
DM (1988) Applied methods in oscillation theory. Nauka,
- Bruno AD (1979) Local methods
in nonlinear differential equations. Nauka,
- http://kovriguineda.ucoz.ru/index/absorber/0-32
- Liu HP,
- Fogelson RL, Likhachev, EP (2001) Temperature dependence of viscosity. Technical Physics, Vol:71(8) 128–131 (Фогельсон РЛ, Лихачев ЕР (2001) Температурная зависимость вязкости. ЖТФ, том 71, выпуск 8, 128-131)
- Samani
FS, Pellicano F. (2012) Vibration reduction of
beams under successive traveling loads by means of linear and nonlinear
dynamic absorbers. Journal of Sound and Vibration. Vol:331(10)
2272–2290.